Matemática básica Ejemplos

$\frac{\sqrt{60} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$\frac{\sqrt{4 (15)} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 15} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Paso 1.3

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{4 (5)}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Paso 1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Paso 1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{15} - (2 \sqrt{5})}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Paso 1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{(\sqrt{5} - \sqrt{15}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}$

Paso 3.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{75} - \sqrt{75} - {\sqrt{15}}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 10}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}$ y $- 10$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})$ .

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{- 10}$

Paso 3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{2 (- 5)}$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{2 \cdot - 5}$

Paso 3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{15} (\sqrt{5} + \sqrt{15}) - \sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{15 \cdot 5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $15$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.3

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.3.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15 \cdot 15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $15$ por $15$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{225} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.7

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15^{2}} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.9

Multiplica $- \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

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Paso 4.2.1.9.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.9.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.9.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {\sqrt{5}}^{1 + 1} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.9.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.10

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.10.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{1} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.10.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 1 \cdot 5 - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.11

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Paso 4.2.1.12

Multiplica $- \sqrt{5} \sqrt{15}$ .

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Paso 4.2.1.12.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{15 \cdot 5}}{- 5}$

Paso 4.2.1.12.2

Multiplica $15$ por $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{75}}{- 5}$

Paso 4.2.1.13

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.1.13.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{25 (3)}}{- 5}$

Paso 4.2.1.13.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{- 5}$

Paso 4.2.1.14

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - (5 \sqrt{3})}{- 5}$

Paso 4.2.1.15

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - 5 \sqrt{3}}{- 5}$

Paso 4.2.2

Resta $5 \sqrt{3}$ de $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 15 - 5}{- 5}$

Paso 4.2.3

Suma $0$ y $15$ .

$\frac{15 - 5}{- 5}$

Paso 4.2.4

Resta $5$ de $15$ .

$\frac{10}{- 5}$

Paso 5

Divide $10$ por $- 5$ .

$- 2$